01

FFT簡(jiǎn)介

快速傅里葉變換 (Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT), 即利用計(jì)算機(jī)計(jì)算離散傅里葉變換（DFT)的高效、快速計(jì)算方法的統(tǒng)稱，簡(jiǎn)稱FFT。DFT是實(shí)現(xiàn)了從頻域（頻域分析往往比時(shí)域分析更優(yōu)越）對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)行分析。然而，隨著序列長(zhǎng)度的增加，計(jì)算量也顯著增加，對(duì)于計(jì)算機(jī)而言，處理時(shí)間就越長(zhǎng)，消耗的資源也就越多。

忘了什么是傅里葉變換的同學(xué)，趕緊拿出《信號(hào)與系統(tǒng)》翻一下。實(shí)在沒(méi)書(shū)，找度娘。對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)，定義式如下：

傅里葉變換：

傅里葉逆變換：

信號(hào)處理領(lǐng)域大名鼎鼎的傅里葉變換，正式由傅里葉提出的，不得不說(shuō)，實(shí)在太偉大了，頂禮膜拜。

在信號(hào)處理中，由于計(jì)算機(jī)通常只能處理數(shù)字信號(hào)，因此通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣離散化，進(jìn)而有了離散傅里葉變換。

話不多說(shuō)，直入主題，首先把DFT公式搬出來(lái)：

原信號(hào)x(t)的采樣信號(hào)x[n]也可以用X[K]來(lái)表示：

1965年，庫(kù)利和圖基提出了快速傅里葉變換(FFT)算法，采用這種算法能使計(jì)算機(jī)計(jì)算DFT所需要的乘法次數(shù)大為減少，特別是被變換的抽樣點(diǎn)數(shù)N越多，F(xiàn)FT算法計(jì)算量的節(jié)省就越顯著。

常用計(jì)算方法：

時(shí)間抽取算法：令序列的長(zhǎng)度為N（2的冪），可以將時(shí)域序列x(n)分解為兩部分，一是偶數(shù)部分x(2n)，另一部分是計(jì)數(shù)部分x(2n+1)，于是信號(hào)序列x(n)的離散傅里葉變換可以用兩個(gè)N/2抽樣點(diǎn)的離散傅里葉變換來(lái)辨識(shí)核計(jì)算。

頻率抽取算法：按照頻率吧抽取的FFT算法是將頻域信號(hào)序列X(k)分解為奇偶兩部分，但算法仍然是由時(shí)域信號(hào)序列開(kāi)始逐級(jí)計(jì)算，同樣把N點(diǎn)分成N/2點(diǎn)計(jì)算FFT。

02

FFT原理

FFT是DFT的快速算法，可以將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域變換到頻域。很多時(shí)候信號(hào)在時(shí)域很難進(jìn)行信號(hào)特征分析，變換到頻域后，就很容易看出信號(hào)的頻率、功率、相位等特征信息。

更多詳細(xì)的解釋，可移步看這里深入淺出的講解傅里葉變換（真正的通俗易懂）或者在CSDN中閱讀深入淺出解釋FFT系列（非公眾號(hào)文章，超鏈接失敗，抱歉，可去CSDN看原文博客），講得比較清楚透徹，不愧是10年碼齡的巨佬。在這里我就不再贅述了。

03

FFT IP Core使用

概述

以Xilinx Vivado設(shè)計(jì)套件中提供的FFT IP為例，簡(jiǎn)要說(shuō)明如何進(jìn)行FFT IP配置和設(shè)計(jì)。

FFT Core用于計(jì)算N點(diǎn)的DFT或IDFT，N=2m，m=3~16。對(duì)于計(jì)算FFT，有三種算術(shù)選項(xiàng)用于計(jì)算FFT：

全精度無(wú)縮放算法

定點(diǎn)縮放，提供縮放表

塊浮點(diǎn)（運(yùn)行時(shí)調(diào)整縮放）

對(duì)于N點(diǎn)大小，可對(duì)正向/逆向變換、縮放表循環(huán)前綴進(jìn)行配置。

提供四種可選架構(gòu)：

Pipelined Streaming I/O

Radix-4 Burst I/O

Radix-2 Burst I/O

Radix-2 Lite Burst I/O

端口描述

FFT IP Core的端口如圖1所示，對(duì)端口的描述，參考產(chǎn)品指南PG-109-XFFT.pdf。

FFT IP配置

舉個(gè)栗子：?jiǎn)瓮ǖ溃?12點(diǎn)，Radix-2,Burst I/O，定點(diǎn)數(shù)，縮放，取整模式Truncation，輸入數(shù)據(jù)位寬16bit，相位因子位寬16，自然序輸出，無(wú)循環(huán)前綴。

在Vivado中創(chuàng)建工程后，在工程管理器下的IP Catalog中選擇并配置FFT IP，在IP配置向?qū)У闹敢?，依次進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的配置，如圖2所示。配置通道數(shù)，變換長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)架構(gòu)，數(shù)據(jù)格式，縮放，取整模式，數(shù)據(jù)呼出順序，是否插入循環(huán)前綴（CP）等。

在向?qū)б晥D左側(cè)，可查看IP端口框圖，實(shí)現(xiàn)詳情以及時(shí)延信息。這里需要注意輸入輸出數(shù)據(jù)的格式以及配置通道數(shù)據(jù)的格式。

配置完成后，輸出生成定制FFT IP，最后再將其實(shí)例化到工程模塊中。

AXI-Stream注意事項(xiàng)

該IP的端口采用了標(biāo)準(zhǔn)的AXI-Stream協(xié)議，數(shù)據(jù)傳輸基本握手。

AXI信道規(guī)則

所有的TDATA和TUSER字段被打包成小端格式，也就是一個(gè)子字段的第0位與TDATA或TUSER的第0位對(duì)齊。

字段不包括在TDATA或TUSER中，除非以這種方式配置了核它需要字段出現(xiàn)。例如，如果核心配置為有一個(gè)固定的點(diǎn)大小，沒(méi)有位分配給指定點(diǎn)大小的NFFT字段。

所有的TDATA和TUSER矢量都是8bit的整數(shù)倍。

配置通道

配置通道端口信號(hào)如表1所示。

表1 配置通道端口信號(hào)

配置通道（s_axis_config）接口是AXI通道，TDATA字段接口定義如下表2所示，所有需要paded的字段如果未達(dá)到8bit邊界，則需要擴(kuò)展到8bit邊界。擴(kuò)展的bit可以未任意值，設(shè)計(jì)為常量值可節(jié)省器件資源。

表2TDATA字段接口定義

其中，NFFT設(shè)置情況，如表3所示。需要注意的是，如果選項(xiàng)runtime configurable transform length被選后，變換點(diǎn)大小才可以在配置通道的NFFT字段進(jìn)行設(shè)置。

表3NFFT設(shè)置

正反變換及縮放

FWD_INV=1時(shí)，正向變換；FWD_INV=0時(shí)，逆向變換。

對(duì)于FFT/IFFT各級(jí)縮放，在不同的實(shí)現(xiàn)架構(gòu)中，縮放因子的設(shè)置有所不同?？蓞⒖急? 或者產(chǎn)品指南：PG109-xfft.pdf文檔ch.4操作理論的Run Time Transform Configuration部分。

循環(huán)前綴（CP）

將輸出結(jié)果的尾部復(fù)制到頭部，輸出順序要選擇自然序。插入循環(huán)前綴，可逐幀設(shè)置，不用打斷幀處理進(jìn)程。

補(bǔ)充：定點(diǎn)數(shù)

在FPGA處理過(guò)程中，常常要對(duì)浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行定點(diǎn)化處理。Matlab中提供了一個(gè)非常方便的定點(diǎn)化函數(shù)fi。

fi(data,s,w,f) 各參數(shù)的定義：

s:signed or unsigned 標(biāo)志；

signed: 包含符號(hào)位；

f:定點(diǎn)小數(shù)精度。

在FPGA處理定點(diǎn)乘法，可用乘法器IP—Multiplier。

04

FFT模塊設(shè)計(jì)demo

以調(diào)用FFT，并通過(guò)ROM預(yù)存所需數(shù)據(jù)進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的demo設(shè)計(jì)。

利用FFT IP，搭建工程。分別使用兩個(gè)ROM存儲(chǔ)DMRS0的I、Q兩路數(shù)據(jù)，外部主機(jī)斷言m_data_tready拉高時(shí)，準(zhǔn)備開(kāi)始從ROM讀取數(shù)據(jù)，同時(shí)配置FFT。IFFT計(jì)算輸出通過(guò)乘以一個(gè)系數(shù)，使其幅度值接近于1。設(shè)計(jì)框圖如圖10所示。

以DMRS0信號(hào)5M帶寬300點(diǎn)（中間補(bǔ)零，至512點(diǎn)）作IFFT為例，創(chuàng)建工程，編寫(xiě)RTL代碼。針對(duì)配置通道的數(shù)據(jù)配置（如SCALE_SCH、FWD/INV、CP_LEN、NFFT），假設(shè)基于Radix-2架構(gòu)作IFFT，不加循環(huán)前綴，不更改NFFT點(diǎn)數(shù)，配置情況如下。

s_axis_config_tdata = 23'b0000_0000_0000_0000_0000_0000;

注意，高M(jìn)SB五位做了填充，使得TDATA的位寬是8的整數(shù)倍。

MATLAB進(jìn)行IFFT變換，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放，同時(shí)將FPGA仿真的結(jié)果導(dǎo)入，計(jì)算各自的幅度，并繪于同一圖中。

通過(guò)對(duì)比分析可知，MATLAB仿真與FPGA實(shí)現(xiàn)結(jié)果基本一致。

在LTE、5G等無(wú)線通信中，IFFT和FFT變換是一個(gè)繞不過(guò)的話題。即便5G在探索非正交多址接入技術(shù)（NOMA）,因主動(dòng)引入干擾，接收機(jī)設(shè)計(jì)復(fù)雜度急劇上升，能否被采用不得而知。

編輯：jq