在計算光學(xué)領(lǐng)域，平生不把“相位”玩，便稱英雄也枉然！相位，是計算光學(xué)成像里繞不開的東西，號稱“凌波微步”的相位大法，是計算光學(xué)成像的十八般武藝之一。

今天，我們就來揭開相位的神秘面紗。

平靜的水面扔進(jìn)一顆石子，會蕩起一圈圈的漣漪；燃燒的火堆后面，能看到影影綽綽變形了的臉；一束激光照射到全息干板上，能看到栩栩如生的三維立體圖像；滴答走著的鐘表，地上被老大爺抽打著轉(zhuǎn)了一圈又一圈的陀螺……所有這些，都與 “相位”有關(guān)。

可是，說起相位（Phase），大家似乎都感覺到熟悉又陌生。這個詞不僅在計算光學(xué)成像中隨處可見，而且在光學(xué)、數(shù)學(xué)和信號處理領(lǐng)域也司空見慣，但好像每次見到都感覺有些不同。我見過很多光學(xué)專業(yè)的學(xué)生會有一個思維定勢，認(rèn)為相位應(yīng)該是光波函數(shù)的相位，而當(dāng)他們閱讀一些文獻(xiàn)的時候，見到相位往往就莫衷一是的樣子，手足無措。

那么計算成像里的相位都有哪些？相位能帶來什么？我們還能對相位做點(diǎn)什么？如何在計算成像中引入相位和解譯相位？

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相位到底是什么？

我們生活在一個充滿各種各樣波的世界里，要理解相位，首先得了解什么是波。有些人可能覺得這個問題有些奇怪，這還用問嗎？劃船時的水波，廣播里的聲波，跳繩時的繩波。當(dāng)然，生活中的還存在著很多波動現(xiàn)象。我們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，就是我們?nèi)绾斡靡惶捉y(tǒng)一的數(shù)學(xué)語言來描述波。

光是一種電磁波，它滿足波動方程：

求解這個方程不是我們在此處需要深入探討的問題，感興趣的讀者可以移步光學(xué)大師波恩老先生的著作《光學(xué)原理》。

我們先來看看相位的定義，以簡諧波為例，若一個正弦函數(shù)y=A·sin(ωt+α)描述了角頻率為ω、振幅為A的一個振動，其中ωt+α就是相位。

如果寫成y（x,t）=A·sin(ωt+α-kx)的形式，就描述了一個振幅為A、波長為λ=2π/k的波。換句話說，相位是描述“振蕩”的，存在于周期性現(xiàn)象的描述中，類似于振動、交流電、波動等等。 是不是很枯燥？那就來看個更枯燥的。在物理和應(yīng)用科學(xué)中，經(jīng)常用復(fù)函數(shù)Y(x,t)=C·ei(ωt-kx)，其中復(fù)振幅C=Aeiα·Y(x,t)的虛部對應(yīng)上面的那個y（x,t）。

簡諧運(yùn)動的相位與波的相位

之所以講這些枯燥的內(nèi)容，只是想把來龍去脈搞清楚。 這里需要總結(jié)一下：所有寫成復(fù)數(shù)形式的式子都有相位，而相位是與幅角相關(guān)的一個相對值。

你看，這不就簡單了嗎？再強(qiáng)調(diào)一下：凡是復(fù)數(shù)形式的，必有相位；相位是一個相對值，一定要與初始位置一起用。

其實(shí)，還可以歸納一條：凡是能夠表示成周期性函數(shù)的，都有相位。 打個比方，排列整齊的隊伍在一聲“解散”口令后，立馬就成雜亂無序狀；一聲“歸位”令下，很快就又恢復(fù)了排列整齊的隊伍。

在這里，每個人都有自己的位置，這個位置就相當(dāng)于相位。

??隊列歸位 因此，你會看到五花八門的各種復(fù)數(shù)表達(dá)式，很顯然，這些復(fù)數(shù)表達(dá)式里都有相位，只是，你可能不知道這個相位到底表達(dá)什么意思。

那我們就來列舉一下計算光學(xué)成像中會遇到哪些相位。 第一是大家熟悉的光波函數(shù)，有幅值有相位。由于光的探測是強(qiáng)度信息，相位探測都是間接方法測量出來，比如干涉法。自然光的時間相干性和空間相干性都很差，可以認(rèn)為相位雜亂無章，變化無常，難以記錄。





光波與波函數(shù) 第二是全息，我們知道全息表示形式本身就是復(fù)數(shù)的，自然有相位；最重要的是，全息記錄的就是相位信息，只需用滿足布拉格條件的再現(xiàn)光照射全息圖就能重建出原始相位。

第三是偏振。偏振乍一看似乎找不到那個相位，但是深入分析一下就知道，偏振有偏振度和偏振角兩個量，其中偏振角就可以等效看作相位。

第四是結(jié)構(gòu)光成像。我們知道，當(dāng)平面波投射到物體表面時，遵循菲涅爾定律產(chǎn)生折射和反射，物體表面的起伏會產(chǎn)生相位的變化，將不再是平面波，記錄下此時的波前，便能夠恢復(fù)出物體的三維形貌。這是教科書的表述方式，實(shí)驗(yàn)卻沒那么容易。

我們希望在自然環(huán)境中也能夠記錄相位，實(shí)現(xiàn)三維成像。其實(shí)很簡單，采用結(jié)構(gòu)光照明，典型的就是黑白相間的平行條紋，投射到物體表面，就能看到條紋的形變，這種形變恰恰是我們通過照明的方式引入的相位；記錄下條紋形變，就可以解析出相位，從而重建三維形貌。

第五是大氣和水等混沌介質(zhì)，這種我們可以稱為“計算介質(zhì)”的東東，在成像中往往起著很壞的作用，大氣擾動會使天文望遠(yuǎn)鏡看不清目標(biāo)，于是就產(chǎn)生了自適應(yīng)光學(xué)；還會產(chǎn)生散射，我在上一篇里已有論述。 第六是傅里葉變換。傅里葉變換也是復(fù)數(shù)形式，有頻譜圖和相位圖；圖像傅里葉變換相位圖代表的是圖像的位置和結(jié)構(gòu)信息。

在計算光學(xué)成像中，我們經(jīng)常遇到的是在頻域里處理信息，就會與傅里葉相位打交道，散斑自相關(guān)成像就是典型的案例，其相位恢復(fù)就是恢復(fù)傅里葉變換相位。傅里葉望遠(yuǎn)鏡當(dāng)然關(guān)系更大了。

數(shù)學(xué)的傅里葉變換

還有一種是相關(guān)運(yùn)算引入的相位。其實(shí)可以把相關(guān)運(yùn)算看作與傅里葉變換是一樣的東西，只是一種拓展而已。

再進(jìn)一步看，其實(shí)還有很多與相位相關(guān)的，比如有像差的光學(xué)系統(tǒng)、多目相機(jī)、微透鏡陣列、多角度照明等，都有相位的引入。只是，這些相位有的是“壞”的，我們不想要的，比如像差，而有的是我們想要引入的“好”的相位，比如多角度照明。

上面說了這么多，那相位到底能干什么？

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相位能干什么？

首先，相位屬于高維度的物理量，高維度的信息經(jīng)過好的處理，投影到低維度，一定會有好的結(jié)果，這當(dāng)然要看我們在低維度空間到底想要什么。專欄的第一篇里已講到，光電成像朝著“更高、更遠(yuǎn)、更廣、更小、更強(qiáng)”的目標(biāo)發(fā)展，從應(yīng)用的維度上看，我們需要把偏振、光譜、相位等高維度的物理信息轉(zhuǎn)換為分辨率、作用距離、視場、重量體積和環(huán)境適應(yīng)能力等，當(dāng)然還有深度信息。

維度信息效能雷達(dá)圖

下面就討論一下“相位”在計算光學(xué)成像中的法力。 從相位本身的物理意義上來看，它是表征“相對位置”的一個物理量，那就天然地就決定了它具備與位置相關(guān)的能力，比如全息就是一個典型的例子。那么，相位在三維成像、提高成像分辨率、簡化光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計和提高環(huán)境適應(yīng)能力等方面能發(fā)揮什么作用。

三維成像方面的相位

全息成像真正拉開了三維成像的序幕，從全息干板到現(xiàn)在的數(shù)字全息，都離不開相位，只是干板記錄的是干涉條紋，通過光源照射還原相位信息，能看到真實(shí)的三維圖像，而且，即使干板打碎，每一個小塊都記錄了物體的全息圖，只是分辨率下降了；而數(shù)字全息則通過光電探測器記錄全息圖，借由標(biāo)量衍射理論從干涉強(qiáng)度圖里恢復(fù)出相位，從而達(dá)到全息的目的。

光電成像和顯示，一定要走向三維！而光電成像實(shí)現(xiàn)的二維圖像，沒有深度信息，就談不上三維。那如果能記錄下或者恢復(fù)出相位，可否像全息成像，重建出三維的圖像呢？答案是肯定的。 利用非相干光進(jìn)行三維的成像的例子有：雙目立體視覺、結(jié)構(gòu)光照明三維成像、偏振三維成像和散射成像等。

雙目立體視覺是利用視差和三角幾何關(guān)系實(shí)現(xiàn)的，只是深度計算模型按照理想相機(jī)建立的，實(shí)際應(yīng)用時，需要對雙目相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，得到內(nèi)外參數(shù)和相應(yīng)矩陣。這個應(yīng)用與相位無關(guān)。

雙目立體視覺

結(jié)構(gòu)光照明三維成像是采用正弦條紋、格雷碼和隨機(jī)紋理等編碼圖案的主動照明方式，引入相位信息，當(dāng)然，我們也可以采用時間編碼方式。

以正弦條紋為例，將正弦條紋通過投影設(shè)備投影至被測物后會發(fā)生彎曲形變，根據(jù)彎曲程度可以解調(diào)得到相位，再將相位轉(zhuǎn)化為全場的高度。這就是結(jié)構(gòu)光三維成像的基本原理，其他的編碼形式與此類似。

很顯然，這種方法與全息不同，只能對結(jié)構(gòu)光照到的形貌進(jìn)行三維重建，這意味著只能從一個方向觀測，它是三維的，但不具有“全息”特性。

基于格雷碼圖案投影的結(jié)構(gòu)光三維成像技術(shù)

偏振三維成像本質(zhì)上利用偏振角信息重建三維形貌，這個偏振角其實(shí)也是相位，在第四篇文章已有論述。 我們知道，散射光場具有“全息”特性，一方面，我們可以從散射場中解譯出相位信息，從而獲得景深數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)三維重建；另一方面，選取一小塊散斑也能解譯出物體信息，只是分辨率下降了，這與全息很像。其實(shí)，我們從另外一個角度看，散射可以認(rèn)為是一種特殊的結(jié)構(gòu)光編碼形式，既有幅值的調(diào)制，也有相位調(diào)制。這既是散射成像的魅力，也是挑戰(zhàn)，需要我們更好地去發(fā)掘。

提高成像分辨率的相位

1953年，荷蘭科學(xué)家澤尼克因發(fā)明了相襯（Phase Contrast）顯微鏡獲得諾貝爾物理學(xué)獎，這是第一個把相位變成強(qiáng)度的成像案例，其原理是利用光的干涉原理，將相位差轉(zhuǎn)換成振幅差(即明暗差)的顯微鏡裝置。相襯顯微鏡實(shí)際上是把人眼看不到的相位信息轉(zhuǎn)換為強(qiáng)度，可以解決透明物體的成像問題。

相襯顯微鏡與成像結(jié)果

那么能不能利用相位提升分辨率呢？這幾年一直在流行“相位成像”，就是從強(qiáng)度中恢復(fù)相位信息，主要兩種手段：一種是相干光照明，根據(jù)光的衍射理論，光的相位能影響到強(qiáng)度信息，可以通過在光路中引入某些光學(xué)元件使得相位能夠反應(yīng)在圖像上，記錄下相襯；另外一種是通過已知的強(qiáng)度信息，利用傅里葉光學(xué)原理解譯出相位，稱之為定量相位成像（quantitative phase imaging）。

相位定量測量原理與細(xì)胞的定量相位成像

說起分辨率，就必須要說說阿貝衍射極限，光學(xué)成像分辨率可以表示為δ=kλ/NA，其中k為系數(shù)，如0.61，λ為波長，NA為數(shù)值孔徑。從公式上來看，提升分辨率的手段基本上就是減小波長，提高數(shù)值孔徑。很顯然，對大多數(shù)成像而言，數(shù)值孔徑更重要。提高數(shù)值孔徑除了常規(guī)的增大光學(xué)口徑和油浸介質(zhì)等手段外，采取的方法都與相干有關(guān)，而相干必然離不開相位。

常見的結(jié)構(gòu)光照明成像、疊層成像、散射成像和合成孔徑成像，都離不開相位。關(guān)于這些內(nèi)容，我想在之后的文章里專門討論。 現(xiàn)在我們要思考的是能不能把相位這個高維度的量投影到分辨率這個維度，能否提升分辨率？可以?？匆粋€現(xiàn)實(shí)的例子：人的雙目視力是超過單只眼睛的，原因就是這里有視差，從而引入了相位，在大腦視覺合成時提升了分辨率。

這個是不是很有意思？在這里，我問一個問題，這個相位是什么？如何引入的？還有哪些方法，能夠把相位與分辨率緊密結(jié)合起來？

簡化光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計的相位

光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計的本質(zhì)是對相位的優(yōu)化控制，傳統(tǒng)的光學(xué)系統(tǒng)為了減小像差采用多片鏡片的組合優(yōu)化設(shè)計，帶來了好的像質(zhì)也犧牲了體積、重量和加工成本。

在計算光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計中，簡化光學(xué)系統(tǒng)的核心必然是相位的混疊和解譯。說起來很簡單，在光學(xué)系統(tǒng)中減少了鏡片，增加了編碼過程，這都會引入相位的變化；如果把成像看成線性模型，那么解譯就是求共軛矩陣的過程，使之能夠恢復(fù)到傳統(tǒng)光學(xué)成像的效果；如果是非線性模型，那就應(yīng)該考慮減少鏡片和編碼過程引入的相位變化，可否做景深的延拓和分辨率的提升。

光學(xué)器件的相位 這就好玩了。你想啊，你用了廉價的方法，既減小了體積重量，還能三維成像，并且分辨率還能提升，是不是做夢啊？從理論上來講，這還真能做到，但是還有很多的問題需要克服，比如能量減弱帶來的對比度下降、數(shù)字信號處理引入的噪聲和偽重建、光譜的混疊和相位的混疊等等復(fù)雜問題，當(dāng)然還有相位信息不足的問題。從本質(zhì)上來講，還是多維度物理光場的問題。

提升環(huán)境適應(yīng)性的相位

大氣擾動、霧霾、煙塵、水等介質(zhì)都會引起相位的變化，從而造成圖像畸變、看不清、看不遠(yuǎn)等問題。自適應(yīng)光學(xué)實(shí)際上就是在解決相位的問題。但是，自適應(yīng)光學(xué)也存在著自身的局限性，除了需要信標(biāo)光之外，一是用不起，二是也不一定都能解決問題。這實(shí)際上又回歸到了光場的問題，目前來看，散射成像應(yīng)該是解決環(huán)境適應(yīng)性最好的辦法了，說到底還是一個相位恢復(fù)的問題。

當(dāng)然，還可以異想天開一點(diǎn)，想辦法再引入一點(diǎn)其他的因素，也能夠更好地解決問題。

應(yīng)對大氣擾動的自適應(yīng)光學(xué)

我們還可以挖掘相位其他方面的潛力，比如能否在拓展視場方面發(fā)揮作用，解決“更廣”的問題？我一本正經(jīng)地告訴你：我不知道！但直覺告訴我，應(yīng)該有路可走。你再問我為什么，我只能一本正經(jīng)地告訴你：我可能看的書比你多。 其實(shí)說了這么多，核心的問題還是最終回歸到了多維度物理光場的問題。如果說現(xiàn)在很多方法好像療效不太好，我再告訴你：那是因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在都是采用的線性模型，那個非線性的成像模型還在路上，但我看到，它越來越近了！

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怎么用好相位？

前面我們講了計算成像中相位的類型和相位都能干哪些事兒，那我們是不是就能用好相位呢？該怎么使用相位呢？ 要回答這個問題首先要搞明白你要處理的那個相位到底是“誰”的相位，誰的鑰匙開誰家的門；然后看相位要解決什么問題，對癥下藥。但是，目前面臨的問題可能有兩類：一類是有相位不知道怎么用，一類是沒有相位。

在這里，我們先把相位當(dāng)作阿堵物（錢）吧。地主家的傻兒子給他再多錢他都不知道怎么用，相反，錢越多他越危險。解決問題的辦法是娶個好媳婦?？墒牵膫€好姑娘會喜歡一個傻子?。?！那就找一個好管家，給他梳理梳理。對于相位也是，很顯然這個高維度的信息一定帶著神秘的力量來到你身邊，你卻不知道珍惜！我們也需要問道上天，問相位這位神仙姐姐究竟能干啥，該怎么干。

如果一個不名一文的窮小子，不努力掙錢必然死路一條。解決問題的方法就是要找到一條致富的道路，不能光是吃飽喝足就不求上進(jìn)了！哎，想想我自己也經(jīng)常偷懶，真是罪過??！阿彌陀佛！對于沒有相位而言，那就是想辦法引入相位，比如結(jié)構(gòu)光照明。同樣，對于相位余額不足的，目前多采用焦面前后微移動拍攝多組數(shù)據(jù)，以更好地恢復(fù)光場。

你是不是覺得還是做一個掙錢夠花就行的人就好，想用多少掙多少。可惜，現(xiàn)實(shí)生活中的這種月光族，往往不敢對生活有奢求。相位的引入也是如此，還是寬裕一點(diǎn)吧，你可能根本不知道相位的深淺。你不想努力？來來來，小子，多走一步：人和廢舊物資回收站。

有人問：毛玻璃貼上膠帶就變成透明的是怎么回事？這其實(shí)就是相位補(bǔ)償?shù)膯栴}，毛玻璃的隨機(jī)起伏帶來了相位的變化，你看不清楚；貼上膠帶，由于膠合得比較好，正好做了相位的抵消，所以毛玻璃就變透明了。不信的話，你拿膠帶去貼毛玻璃平的那一面，我敢跟你賭一毛錢，毛玻璃不可能變透明。其實(shí)，這個膠帶在數(shù)學(xué)上就是毛玻璃矩陣的共軛矩陣。

審核編輯：劉清