相控陣天線方向圖——第一部分：線陣波束特性和陣列因子

隨著數(shù)字相控陣在商業(yè)、航空航天和國防領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，許多從事相控陣天線設(shè)計(jì)各個(gè)方面的工程師對(duì)相控陣天線的了解卻十分有限。相控陣天線設(shè)計(jì)并非新生事物，其理論已發(fā)展數(shù)十年；然而，大多數(shù)文獻(xiàn)都面向精通電磁數(shù)學(xué)的天線工程師。隨著相控陣開始融入更多混合信號(hào)和數(shù)字技術(shù)，許多工程師將受益于對(duì)相控陣天線方向圖更直觀的解釋。事實(shí)上，相控陣天線的行為與混合信號(hào)和數(shù)字工程師日常使用的離散時(shí)間采樣系統(tǒng)之間存在諸多相似之處。

這些文章的目的不是為了培養(yǎng)天線設(shè)計(jì)工程師，而是為了幫助從事相控陣子系統(tǒng)或組件設(shè)計(jì)的工程師，讓他們能夠直觀地了解自己的工作可能會(huì)對(duì)相控陣天線方向圖產(chǎn)生怎樣的影響。

波束方向

首先，我們來看一個(gè)直觀的相控陣波束控制示例。圖 1 展示了一個(gè)簡單的示意圖，其中波前從兩個(gè)不同方向照射到四個(gè)天線單元。在每個(gè)天線單元之后，接收路徑中都施加了一個(gè)時(shí)間延遲，然后將所有四個(gè)信號(hào)疊加在一起。在圖 1a 中，該時(shí)間延遲與波前照射到每個(gè)單元的時(shí)間差相匹配。在這種情況下，施加的延遲使得四個(gè)信號(hào)在組合點(diǎn)處相位一致。這種相干組合使得組合器的輸出信號(hào)更強(qiáng)。在圖 1b 中，施加了相同的延遲；然而，在這種情況下，波前垂直于天線單元。施加的延遲現(xiàn)在導(dǎo)致四個(gè)信號(hào)的相位錯(cuò)位，組合器的輸出信號(hào)顯著降低。

在相控陣中，時(shí)間延遲是實(shí)現(xiàn)波束控制所需的量化參數(shù)。但時(shí)間延遲也可以用相移來模擬，這在許多實(shí)際應(yīng)用中都很常見且實(shí)用。我們將在波束斜視部分討論時(shí)間延遲和相移的影響，但現(xiàn)在我們先來看一個(gè)相移實(shí)現(xiàn)方案，然后推導(dǎo)使用該相移進(jìn)行波束控制的計(jì)算方法。

圖 2 展示了這種使用移相器而非時(shí)延器的相控陣布置。請(qǐng)注意，我們將指向軸方向（θ = 0o）定義為垂直于天線表面的方向。指向軸方向右側(cè)為正角 θ，左側(cè)為負(fù)角 θ。

為了可視化波束控制所需的相移，可以在相鄰元素之間繪制一組直角三角形，如圖 3 所示。其中 ΔΦ 是這些相鄰元素之間的相移。

圖 3a 定義了這些元素之間的三角關(guān)系，每個(gè)元素之間相隔一個(gè)距離 (d)。波束指向偏離視軸方向 θ 的方向，該方向與地平線成 φ 角。在圖 3b 中，我們可以看到 θ + φ = 90 ° 。這使得我們可以計(jì)算波傳播距離 ΔL，即 L = dsin(θ)。波束轉(zhuǎn)向所需的時(shí)間延遲等于波前傳播該距離 L 所需的時(shí)間。如果我們把 L 看作波長的一部分，那么可以用相位延遲來代替該時(shí)間延遲。然后，ΔΦ 的方程可以相對(duì)于 θ 定義，如圖 3c 所示，并在公式 1 中重復(fù)。

如果元件之間的間距恰好是信號(hào)波長的一半，那么可以進(jìn)一步簡化為：

讓我們用這些方程式舉個(gè)例子?？紤]兩個(gè)相距 15 毫米的天線單元。如果一個(gè) 10.6 GHz 的波前以 30o 的角度偏離機(jī)械軸線入射，那么這兩個(gè)單元之間的最佳相位差是多少？

·θ = 30o = 0.52 弧度

·λ = c/f = (3 × 10? m /s)/10.6 GHz = 0.0283 m

·ΔΦ = (2π × d × sinθ)/λ = 2π × 0.015 × sin(0.52)/0.0283 m = 1.67 rad = 95°

因此，如果我們的波前到達(dá)角度為θ = 30o，那么如果我們將相鄰單元的相位偏移95o，就會(huì)使兩個(gè)單元的信號(hào)相干疊加。這將使該方向上的天線增益最大化。

為了更好地理解相移如何隨波束方向 (θ) 變化，圖 4 繪制了這些方程在不同條件下的曲線。從這些圖中可以得出一些有趣的觀察結(jié)果。當(dāng) d = λ/2 時(shí)，在波束指向附近存在一個(gè)近似 3:1 的斜率，這正是方程 2 中的 π 乘數(shù)。這種情況還表明，單元間 180° 的完整偏移理論上會(huì)導(dǎo)致波束方向 90° 的偏移。實(shí)際上，對(duì)于實(shí)際的單元方向圖，這無法實(shí)現(xiàn)，但這些方程確實(shí)展現(xiàn)了理論上的理想情況。需要注意的是，當(dāng) d > λ/2 時(shí)，任何相移都無法實(shí)現(xiàn)完整的波束偏移。稍后我們將看到，這種情況會(huì)導(dǎo)致天線方向圖中出現(xiàn)柵瓣，而該圖初步表明 d > λ/2 的情況有所不同。

均勻間隔線性陣列

上述方程僅適用于兩個(gè)單元的情況。然而，實(shí)際的相控陣列可能包含數(shù)千個(gè)分布在二維空間中的單元。但就本文而言，我們只考慮一維情況：即線性陣列。

線性陣列是指寬度為1、橫向包含N個(gè)單元的陣列。單元間距可以變化，但通常是均勻的。因此，本文中，我們將每個(gè)單元之間的間距設(shè)置為均勻距離d（圖5）。盡管這種均勻間距的線性陣列模型較為簡化，但它為理解天線方向圖在各種條件下的形成提供了基礎(chǔ)。我們還可以進(jìn)一步應(yīng)用線性陣列的原理來理解二維陣列。

近場與遠(yuǎn)場

那么，我們?nèi)绾螌⒅盀?N = 2 線性陣列建立的方程應(yīng)用于 N = 10,000 線性陣列呢？目前看來，每個(gè)天線單元指向球面波前的角度都略有不同，如圖 6 所示。

當(dāng)射頻源靠近天線時(shí)，每個(gè)單元的入射角都會(huì)有所不同。這種情況稱為近場。我們可以計(jì)算出所有這些角度，有時(shí)我們需要這樣做來進(jìn)行天線測試和校準(zhǔn)，因?yàn)槲覀兊臏y試裝置規(guī)模有限。但是，如果我們假設(shè)射頻源遠(yuǎn)離天線，那么就會(huì)得到圖 7 所示的情況。

由于射頻源距離較遠(yuǎn)，球面波前的半徑較大，導(dǎo)致波的傳播路徑近似平行。因此，所有波束角均相等，且每個(gè)相鄰單元的路徑長度比其相鄰單元長 L = d × sinθ。這簡化了計(jì)算，意味著我們推導(dǎo)出的兩個(gè)單元方程可以應(yīng)用于數(shù)千個(gè)單元，前提是它們之間的間距均勻。

但我們何時(shí)才能做出遠(yuǎn)場假設(shè)？遠(yuǎn)場究竟有多遠(yuǎn)？這有點(diǎn)主觀，但一般來說，遠(yuǎn)場是指大于以下范圍的任何距離：

其中 D 為天線直徑（對(duì)于我們的均勻線性陣列，D 為 (N-1) × d）。

對(duì)于小型陣列（小D值）或低頻（大λ值），遠(yuǎn)場距離較短。但對(duì)于大型陣列（或高頻），遠(yuǎn)場距離可能達(dá)到數(shù)公里！這使得陣列的測試和校準(zhǔn)變得十分困難。在這種情況下，可以使用更精細(xì)的近場模型，然后將其與陣列在實(shí)際應(yīng)用中的遠(yuǎn)場情況進(jìn)行關(guān)聯(lián)。

天線增益、方向性和孔徑

在深入探討之前，有必要先定義一下天線增益、方向性和孔徑。首先，我們來澄清一下增益和方向性的區(qū)別，因?yàn)閮烧呓?jīng)常被混淆。天線增益和方向性是相對(duì)于各向同性天線而言的——各向同性天線是一種理想天線，它向各個(gè)方向均勻輻射。方向性是指在特定方向上測得的最大功率P max 與所有方向輻射的平均功率P av 之間的比較。如果沒有指定方向，則方向性由公式 4 計(jì)算得出。

方向性是比較天線性能時(shí)的一個(gè)重要指標(biāo)，因?yàn)樗x了天線集中輻射能量的能力。增益與方向性具有相同的特性，但增益包含了天線的損耗。

P rad是輻射的總功率，P in是輸入到天線的功率，k表示天線輻射過程中的損耗。

接下來，我們考慮天線方向圖作為三維方向的函數(shù)，以及方向性作為波束寬度的函數(shù)。

球體的總表面積為 4π2 ，球體面積的單位是球面度，一個(gè)球體包含 4π 個(gè)球面度。因此，各向同性輻射器的功率密度為

單位為（W/m 2）。

球面上的一個(gè)區(qū)域有兩個(gè)角度方向。在雷達(dá)系統(tǒng)中，這些方向通常被稱為方位角和仰角。波束寬度可以表示為每個(gè)角度方向的函數(shù)，分別記為θ1和θ2 ：它們的組合在球面上形成一個(gè)面積為ΩA的區(qū)域。

Ω A是以球面度為單位的波束寬度，可以近似為 Ω A ≈ θ 1 × θ 2。

將 Ω A視為球面上的一個(gè)面積，則方向性可以表示為

我們要討論的第三個(gè)天線術(shù)語是孔徑。天線孔徑表示接收電磁波的有效面積，并且包含一個(gè)與波長相關(guān)的函數(shù)。各向同性天線的孔徑為

增益是相對(duì)于各向同性輻射的，它決定了天線的有效孔徑。

將這三個(gè)術(shù)語放在一起，我們可以看出增益可以被視為角度的函數(shù)，它定義了輻射方向圖，并解釋了天線的效率（或損耗）。

線性陣列的陣列因子

至此，我們能夠預(yù)測各單元間實(shí)現(xiàn)最大天線方向性的最佳時(shí)間（或相位）差。但我們更希望了解并操控完整的天線增益方向圖。這主要包含兩個(gè)方面。首先是陣列中每個(gè)單元（或許是一個(gè)貼片）的增益，稱為單元因子（GE ）。其次，我們可以通過波束成形對(duì)陣列施加影響，稱為陣列因子（GA ）。完整的陣列天線增益方向圖是這兩個(gè)因子的組合，如公式10所示。

單元因子GE是陣列中單個(gè)單元的輻射方向圖。它由天線的幾何形狀和結(jié)構(gòu)決定，在實(shí)際操作中無法改變。了解單元因子非常重要，因?yàn)樗鼤?huì)限制整個(gè)陣列的增益，尤其是在地平線附近。但由于我們無法對(duì)其進(jìn)行電氣控制，因此將其作為固定影響因素納入相控陣總增益方程。在本文中，我們假設(shè)所有單元的單元因子都相同。

因此，本文的重點(diǎn)在于陣列因子 G A。陣列因子基于陣列幾何形狀（對(duì)于我們的均勻線性陣列，即 d）和波束權(quán)重（幅度和相位）計(jì)算得出。推導(dǎo)均勻線性陣列的陣列因子很簡單，但具體細(xì)節(jié)最好參考本文末尾列出的參考文獻(xiàn)。

文獻(xiàn)中使用的方程存在一些差異，這取決于線性陣列中參數(shù)的定義方式。我們采用本文中的方程，這與圖 2 和圖 3 中的定義保持一致。由于我們主要關(guān)注增益的變化，因此繪制歸一化陣列因子相對(duì)于單位增益的曲線通常更有意義。該歸一化陣列因子可表示為方程 11。

我們已經(jīng)將波束角 θ 0定義為元件間相移 ΔΦ 的函數(shù)；因此，我們也可以將歸一化天線因子寫成公式 12。

陣列因子方程中假設(shè)的條件包括：

·各元素間距相等。

·各元素之間存在相等的相位差。

·各個(gè)元素的振幅都相等。

接下來，利用這些方程，我們繪制出幾種不同數(shù)組大小的數(shù)組因子。

根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以得出一些結(jié)論：

·第一旁瓣增益始終為 -13 dBc，與陣列單元數(shù)量無關(guān)。這是由于陣列因子方程中使用了 sinc 函數(shù)所致。可以通過對(duì)各單元增益進(jìn)行漸變來改善旁瓣，這將在本系列的后續(xù)章節(jié)中討論。

·波束寬度隨單元數(shù)量的增加而減小。

·當(dāng)波束偏離軸線掃描時(shí)，波束寬度會(huì)變寬。

·隨著元素?cái)?shù)量的增加，空值的數(shù)量也會(huì)增加。

波束寬度

波束寬度是衡量天線角度分辨率的指標(biāo)。最常見的波束寬度定義是半功率波束寬度 (HPBW) 或主瓣零點(diǎn)間距 (FNBW)。為了找到 HPBW，我們從峰值向下移動(dòng) 3 dB 并測量角度距離，如圖 12 所示。

利用歸一化陣列因子方程，我們可以通過將公式 3 設(shè)置為半功率電平（3 dB 或 1/√2）來求解該半功率波束寬度 (HPBW)。我們將假設(shè)機(jī)械視軸（θ = 0o），N = 8，且 d = λ/2。

然后解得 ?Φ 為 0.35 rad。使用公式 1，解得 θ：

該θ值是峰值到3 dB點(diǎn)的距離，也就是我們半功率波束寬度（HPBW）的一半。因此，我們只需將其乘以2即可得到3 dB點(diǎn)之間的角度距離。由此得出HPBW為12.8o。

我們可以重復(fù)此操作，使陣列因子等于 0，并得到前面提到的條件下的第一個(gè)零位到零位間距角 FNBW = 28.5o。

對(duì)于均勻線性陣列，HPBW [1,2] 的近似值由公式 15 給出。

圖 13 繪制了在 λ/2 單元間距條件下，不同單元數(shù)的波束寬度與波束角度的關(guān)系圖。

從這張圖中，我們可以觀察到一些與行業(yè)內(nèi)正在開發(fā)的陣列尺寸相關(guān)的現(xiàn)象。

·1°的波束精度需要100個(gè)陣元。如果方位角和俯仰角都需要達(dá)到1°的精度，則需要一個(gè)包含10000個(gè)陣元的陣列。1°的精度僅在近乎理想的條件下才能在波束指向方向上實(shí)現(xiàn)。要在實(shí)際部署的陣列中，在各種掃描角度下保持1°的精度，則需要進(jìn)一步增加陣元數(shù)量。這一觀察結(jié)果為超大型陣列的波束寬度設(shè)定了一個(gè)實(shí)際的極限。

·行業(yè)內(nèi)常用的陣列是1000單元陣列。每個(gè)方向32個(gè)單元，單元總數(shù)為1024個(gè)，在瞄準(zhǔn)線附近可實(shí)現(xiàn)小于4°的波束精度。

·一個(gè)可低成本批量生產(chǎn)的256單元陣列，其波束指向精度仍可小于10°。這對(duì)于許多應(yīng)用來說完全可以接受。

·另請(qǐng)注意，對(duì)于上述所有情況，波束寬度在偏移 60° 時(shí)都會(huì)加倍。這是由于分母中的 cosθ 造成的，是由于陣列的透視縮短效應(yīng)；也就是說，從某個(gè)角度觀察時(shí)，陣列的橫截面看起來更小。

元素和數(shù)組因子的結(jié)合

上一節(jié)僅考慮了陣列因子。但要計(jì)算天線總增益，我們還需要單元因子。圖 14 給出了一個(gè)示例。在本例中，我們使用簡單的余弦函數(shù)作為單元因子，或歸一化單元增益 G E (θ)。余弦滾降在相控陣分析中很常見，如果考慮平面，則可以直觀地理解。在垂直于天線方向時(shí)，可見面積最大。隨著角度偏離垂直于天線方向，可見面積按余弦函數(shù)遞減。

陣列因子 G A (θ) 用于 16 單元線性陣列，單元間距為 λ/2，且具有均勻輻射方向圖?？偡较驁D是單元因子和陣列因子的線性乘積，因此在 dB尺度上，它們可以相加。

波束偏離瞄準(zhǔn)線時(shí)的一些觀察結(jié)果：

·主波束振幅以元件因子的速率衰減。

·波束指向方向上的旁瓣沒有幅度損失。

·結(jié)果是，偏離視線方向時(shí)，整個(gè)陣列的旁瓣性能下降。

天線圖：笛卡爾坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系

到目前為止，我們使用的天線方向圖都是采用笛卡爾坐標(biāo)系繪制的。但通常情況下，天線方向圖會(huì)采用極坐標(biāo)系繪制，因?yàn)闃O坐標(biāo)系更能代表天線向外輻射的空間能量分布。圖 15 是圖 12 的極坐標(biāo)重繪版本。請(qǐng)注意，數(shù)據(jù)完全相同，逐點(diǎn)一致——只是使用了極坐標(biāo)系重新繪制。能夠以兩種坐標(biāo)系可視化天線方向圖是有價(jià)值的，因?yàn)槲墨I(xiàn)中都使用了這兩種坐標(biāo)系。本文大部分內(nèi)容將使用笛卡爾坐標(biāo)系，因?yàn)樵谶@種坐標(biāo)系下更容易比較波束寬度和旁瓣性能。

陣列互易性

到目前為止，所有的圖表和文字都描述了陣列接收的信號(hào)。但對(duì)于發(fā)射陣列來說，情況又會(huì)如何變化呢？幸運(yùn)的是，大多數(shù)天線陣列都是互易的。因此，發(fā)射和接收的所有圖表、公式和術(shù)語都是相同的。有時(shí)，將波束視為陣列接收信號(hào)更容易理解。而有時(shí)，例如在柵瓣的情況下，將陣列視為發(fā)射波束可能更直觀。在本文中，我們通常將陣列描述為接收信號(hào)。但如果您覺得難以想象，也可以同樣地從發(fā)射的角度來思考相同的概念。

本系列文章第一部分到此結(jié)束。